Integral von \( \sin^2(x) \cos^2(x) \)

Herleitung und Auswertung

Berechnen Sie das Integral:

\[ \int \sin^2(x) \cos^2(x) \, dx \]

Verwenden Sie die trigonometrischen Identitäten \( \sin^2 x = \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \) und \( \cos^2 x = \dfrac{1}{2}(1 + \cos(2x)) \), um das Integral umzuformen:

\[ \int \sin^2(x) \cos^2(x) \, dx = \dfrac{1}{4} \int (1 - \cos(2x))(1 + \cos(2x)) \, dx \]

Entwickeln Sie den Integranden des Integrals auf der rechten Seite mithilfe der Differenz von Quadraten:

\[ = \dfrac{1}{4} \int (1 - \cos^2(2x)) \, dx \]

Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \cos^2 \theta = \dfrac{1}{2}(1 + \cos(2\theta)) \), die für \( \theta = 2x \) ergibt \( \cos^2(2x) = \dfrac{1}{2}(1 + \cos(4x)) \):

\[ = \dfrac{1}{4} \int \left( 1 - \dfrac{1}{2}(1 + \cos(4x)) \right) dx \]

Vereinfachen Sie den Integranden in den Klammern:

\[ = \dfrac{1}{4} \int \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\cos(4x) \right) dx = \dfrac{1}{8} \int (1 - \cos(4x)) \, dx \]

Berechnen Sie das Integral mithilfe der Standardintegrale \( \int 1 \, dx = x \) und \( \int \cos(kx) \, dx = \dfrac{1}{k}\sin(kx) \):

\[ = \dfrac{1}{8} \left( x - \dfrac{1}{4} \sin(4x) \right) + c \]

wobei \( c \) die Integrationskonstante ist.

Das Endergebnis lautet: