Berechne das Integral
\[ \int \sin^2(x) \cos^2(x) \; dx \]
Verwende die trigonometrischen Identitäten \( \sin^2 x = \dfrac{1}{2}(1 - \cos (2 x)) \) und \( \cos^2 x = \dfrac{1}{2}(1 + \cos (2 x)) \) auf der rechten Seite und schreibe
\[ \int \sin^2(x) \cos^2(x) \; dx = \dfrac{1}{4} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) \; dx \]
Entwickle den Integranden des Integrals auf der rechten Seite
\[ = \dfrac{1}{4} \int (1 - \cos^2(2 x)) \; dx \]
Verwende die trigonometrische Identität \( \cos^2 x = \dfrac{1}{2}(1 + \cos (2 x)) \), was auch \( \cos^2 (2x) = \dfrac{1}{2}(1 + \cos (4x)) \) ergibt
\[ = \dfrac{1}{8} \int (1 - \dfrac{1}{2}(1 + \cos (4x)) ) \; dx \]
Erweitere und vereinfache den Integranden
\[ = \dfrac{1}{8} \int (1 - \dfrac{1}{2}(1 - \cos (4x)) ) \; dx \]
Verwende die Standardintegrale \( \int 1 dx = x + c\) und \( \int \cos (kx) dx = \dfrac{1}{k} \sin x + c\), um das obige Integral zu berechnen und erhalte die endgültige Antwort
\[ \boxed { \int \sin^2(x) \cos^2(x) \; dx = \dfrac{1}{8} \left(x - \dfrac{1}{4} \sin (4x) \right) + c } \]